Question

14．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1有相同的焦点；
②方程2x²-3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③设A、B为两个定点，K为常数，若|PA|-|PB|=K，则动点P的轨迹为双曲线的一支；
④过抛物线y²=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；
⑤双曲线x²-y²=1的顶点到其渐近线的距离等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
其中真命题的序号为①④⑤（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①求出双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1的焦点坐标，判定命题正确；
②求出方程2x²-3x+1=0的两根，结合椭圆、双曲线的离心率的范围，判定命题错误；
③根据双曲线的定义，判定命题错误；
④讨论直线l的斜率不存在和斜率为0时都不符合题意，设l为y=k（x-1）与抛物线方程联立消去y，得出A、B两点的横坐标之和，求得k的值，判定命题正确．
⑤求得双曲线的a=b=1，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：对于①，双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1的焦点坐标是（-5，0）、（5，0），
椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1的焦点坐标是（-5，0）、（5，0），
∴焦点相同，命题①正确；
对于②，方程2x²-3x+1=0的两根是1和$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$可作为椭圆的离心率，1既不是椭圆的离心率，也不是双曲线的离心率，∴命题②错误；
对于③，A、B是两个定点，K为常数，
若|PA|-|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线的一支，∴命题③错误；
对于④，过抛物线y²=4x的焦点F（1，0）作直线l与抛物线相交于A、B两点，
当直线l的斜率不存在时，横坐标之和等于2，不合题意；
当直线l的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；
∴设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l为y=k（x-1），
代入抛物线y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0；
∵A、B两点的横坐标之和等于5，
∴$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=5，解得k²=$\frac{4}{3}$，
∴这样的直线有且仅有两条．命题④正确；
⑤双曲线x²-y²=1的a=b=1，
可得顶点为（±1，0），
渐近线方程为y=±x，
即有顶点到渐近线的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，命题⑤正确．
综上，正确的命题是①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评 本题通过命题真假的判定，考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质，直线与圆锥曲线的应用问题，是综合题目．