Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；
（2）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．

当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；

当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣ ≤x＜﹣1；

当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．

综上，不等式的解集为[﹣ ，+∞）．

（2）解：当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，

由此得a≥﹣7且a≤2x+7．

当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，

所以a的取值范围是[﹣7，7]．

【解析】（1）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（2）依题意知，|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．