【题目】用电阻值分别为 、、、、、的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论.
【答案】见解析
【解析】
设6个电阻的组件(如图)的总电阻为.当,、是、的任意排列时,最小.
证明如下:
1°设当两个电阻、并联时,所得组件阻值为R,则,故交换二电阻的位置,不改变R值,且当或变小时,R也减小,因此不妨取.
2°设3个电阻的组件(如图)的总电阻为.有
显然,越大,越小,所以,为使最小,必须取为所取三个电阻中阻值最小的一个.
3°设4个电阻的组件(如图)的总电阻为.
有
若记,,
则、为定值
于是,
只有当最小,最大时,最小,故应取,,,即得总电阻的阻值最小.
4°对于图,把由、、组成的组件用等效电阻代替,要使最小,由3°必需使;且由1°,应使最小,由2°知要使最小,必需使,且应使最小.
而由3°,要使最小,应使,且.
这就说明,要证结论成立.
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【题目】某中学高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86.
(1)求出x,y的值,且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、,并根据结
果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛?
(2)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名.求至少有1名来自甲班的概率.
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【题目】(请写出式子在写计算结果)有4个不同的小球,4个不同的盒子,现在要把球全部放入盒内:
(1)共有多少种方法?
(2)若每个盒子不空,共有多少种不同的方法?
(3)恰有一个盒子不放球,共有多少种放法?
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【题目】自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况,随机抽取了100人,统计结果整理如下:
20以下 | 70以上 | ||||||
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)现随机抽取 1 名顾客,试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率;
(Ⅱ)从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中,随机抽取3人进一步了解情况,用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望;
(Ⅲ)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
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【题目】一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形, 另一个是边长为 1 的正三角形.那么, 这个三棱锥的体积大小 ( ).
A. 有惟一确定的值 B. 有 2 个不同值
C. 有 3 个不同值 D. 有 3 个以上不同值
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【题目】在某次高中学科知识竞赛中,对4000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为,,,,,,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,则下列说法中正确的是( )
A.成绩在的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是 (是参数, ),直线的参数方程是 (是参数),曲线与直线有一个公共点在轴上,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若点,,在曲线上,求的值.
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