Question

15．已知$\overrightarrow m=（{2cosx+2\sqrt{3}sinx，1}），\overrightarrow n=（{cosx，-y}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．将y表示为x的函数，若记此函数为f（x），
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在x∈[0，π]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的垂直关系求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质求出函数的递增区间即可；
（2）求出g（x）的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$得$\overrightarrow m•\overrightarrow n=2co{s^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-y=0$，．…（1分）
所以$y=2co{s^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$．…（2分）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈z，…（3分）
即函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈z…．…（4分）
（2）由题意知g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1…．…（7分）
因为x∈[0，π]，∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，…（8分）
故当x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，g（x）有最大值为3；…（10分）
当$x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$时，g（x）有最小值为0．…（11分）
故函数g（x）在x∈[0，π]上的最大值为3，最小值为0．…．…（12分）

点评 本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．