Question

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别

2

3

和

1

2

，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中：
（1）求甲种树成活的株数η的方差；
（2）两种大树各成活1株的概率；
（3）成活的株数ξ的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）利用二项分布的方差公式，可得结论；
（2）设A_k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2，B_l表示乙种大树成活l株，l=0，1，2，则A_k，B_l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式，可求两种大树各成活1株的概率；
（3）确定ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可求出成活的株数ξ的分布列与期望．

解答： 解：（1）甲种树每株成活的概率p=

2

3

，Dη=np(1-p)=2×

2

3

×

1

3

=

4

9

…3’
（2）设A_k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2，B_l表示乙种大树成活l株，l=0，1，2
则A_k，B_l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Ak)=Ck2(

2

3

)k(

1

3

)2-k，P(Bl)=Cl2(

1

2

)l(

1

2

)2-l..…5’
据此算得P(A0)=

1

9

，P(A1)=

4

9

，P(A2)=

4

9

.P(B0)=

1

4

，P(B1)=

1

2

，P(B2)=

1

4

…7’
所求概率为P(A2•B1)=P(A1)•P(B1)=

4

9

×

1

2

=

2

9

…9’
（3）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P(ξ=0)=P(A0•B0)=P(A0)•P(B0)=

1

9

×

1

4

=

1

36

，P(ξ=1)=P(A0•B1)+P(A1•B0)=

1

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

1

6

，P(ξ=2)=P(A0•B2)+P(A1•B1)+P(A2•B0)=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

13

36

，P(ξ=3)=P(A1•B2)+P(A2•B1)=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

.P(ξ=4)=P(A2•B2)=

4

9

×

1

4

=

1

9

…11’
综上知ξ有分布列

N(xN，0)， OM + ON = OQ	0	1	2	3	4
P	1/36	1/6	13/36	1/3	1/9

..…12’
从而，N(xN，0)，

OM

+

ON

=

OQ

的期望为Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

（株）..…14’
解法二：
分布列的求法同上
令ξ₁，ξ₂分别表示甲乙两种树成活的株数，则ξ1～B(2，

2

3

)，ξ2～B(2，

1

2

)..…11’
故有Eξ1=2×

2

3

=

4

3

，Eξ2=2×

1

2

=1..…13’
从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=

7

3

..…14’

点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，其中在求随机变量ξ的分布列时，对随机变量的每一个取值，要注意不重不漏，以便准确的计算出ξ取得各值时的概率，这也是计算分布列及数学期望时最容易产生的错误．