Question

在等比数列{a_n}中，公比为q，前m项和为S_m（S_m≠0），证明：S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…，S_km-S_（k-1）m构成公比为 q的m次幂的等比数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：分类讨论，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．

解答： 证明：q=1时，S_m=ma₁，S_2m-S_m=2ma₁-ma₁=ma₁，S_3m-S_2m=3ma₁-2ma₁=ma₁，…，构成公比为1的m次幂的等比数列，结论成立．
q≠1时，则S_m=

a1(1-qm)

1-q

；
S_2m-S_m=

a1(1-q2m)

1-q

-

a1(1-qm)

1-q

=q^m•

a1(1-qm)

1-q

；
S_3m-S_2m=

a1(1-q3m)

1-q

-

a1(1-q2m)

1-q

=q^2m•

a1(1-qm)

1-q

；
所以S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…，S_km-S_（k-1）m构成公比为q的m次幂的等比数列．
综上，S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…，S_km-S_（k-1）m构成公比为 q的m次幂的等比数列．

点评：通过对数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．