Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为

40

3

．
（1）求几何体ABCD-A₁C₁D₁的表面积；
（2）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：常规题型,空间位置关系与距离

分析：（1）根据长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截去一个角后，得到的几何体的体积为

40

3

，求出AA₁，然后计算表面积．
（2）在线段BC₁上找一点P，使直线A₁P与C₁D垂直，可以过A点找一个平面，使这一平面与C₁ D垂直，这一平面与BC₁ 的交点即为P点．利用三角形相似求线段A₁P的长．

解答： 解：（1）∵VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=2×2×AA1-

1

3

×

1

2

×2×2×AA1=

10

3

AA1=

40

3

，

∴AA₁=4．------------------------------------------------------（3分）
A1B=C1B=2

5

，A1C1=2

2

，设A₁C₁的中点H，
所以BH=3

2

∴S△A1C1B=6---------------------------（5分）
∴表面积S=3×8+4+2+6=36----------------------（6分）
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，过Q作QP∥CB交BC₁于点P，则A₁P⊥C₁D．-------（7分）
因为A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQD₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQCD₁且A₁P?平面A₁PQD₁，
∴A₁P⊥C₁D．---------------------------------------（9分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，
∴C₁Q=1，又∵PQ∥BC，∴PQ=

1

4

BC=

1

2

．
∵四边形A₁PQD₁为直角梯形，且高D1Q=

5

，
∴A1P=

(2- 1 2 )2+5

=

29

2

．---------------------（12分）

点评：本题第（1）问考查了几何体的体积及表面积的求法，关键是根据体积求出AA₁，第（2）问考查了探索性问题，关键是如何作出P点．