Question

设函数f（x）=（1+x）^α的定义域是[-1，+∞），其中常数α＞0．
（1）若α＞1，求y=f（x）的过原点的切线方程．
（2）当α＞2时，求最大实数A，使不等式f（x）＞1+αx+Ax²对x＞0恒成立．
（3）证明当α＞1时，对任何n∈N^*，有1＜

1

n

n+1

k=2

（（

k-1

k

）^α+

α

k

）＜α．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的几何意义，可求y=f（x）的过原点的切线方程．
（2）令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，则g（0）=0，g′（x）=α（1+x）^α-1-α-2Ax，显然g′（0）=0，且g′（x）的导函数为g″（x）=α（α-1）（1+x）^α-2-2A．分类讨论，根据不等式f（x）＞1+αx+Ax²对x＞0恒成立，即可得出结论．
（3）证明对x∈（-1，0）恒有1＜（1+x）^α-αx＜α，在此不等式中x=-

1

2

，-

1

3

，…，-

1

n+1

，不等式相加，即可证明结论．

解答： （1）解：∵f（x）=（1+x）^α，∴f′（x）=α（1+x）^α-1．
若切点为原点，由f′（0）=α知切线方程为y=αx+1； 
若切点不为原点，设切点为（x₀，（1+x₀）^α），
∴由切线过原点可知

(1+x0)α

x0

=α（1+x₀）^α-1在（-1，+∞）内有唯一的根x₀=

1

α-1

∵f′（

1

α-1

）=

αα

(α-1)α-1

，
∴切线方程为y=

αα

(α-1)α-1

x+(

α

α-1

)n
综上，所求切线有两条：y=αx+1和y=

αα

(α-1)α-1

x+(

α

α-1

)n；
（2）令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，则g（0）=0，g′（x）=α（1+x）^α-1-α-2Ax，
显然g′（0）=0，且g′（x）的导函数为g″（x）=α（α-1）（1+x）^α-2-2A．
若A≤

α(α-1)

2

，则

2A

α(α-1)

≤1，由α＞2知（1+x）^α-2＞1对x＞0恒成立，从而对x＞0恒有g″（x）＞0，
即g′（x）在（0，+∞）上单调增，从而g′（x）＞g′（0）=0对x＞0恒成立，从而g（x）在（0，+∞）单调增，
∴g（x）＞g（0）=0对x＞0恒成立．
若A＞

α(α-1)

2

，则

2A

α(α-1)

＞1，由α＞2知知存在x₀＞0，使得（1+x）^α-2＜

2A

α(α-1)

对x∈（0，x₀）恒成立，即g″（x）＜0对x∈（0，x₀）恒成立，
由g′（0）=0知存在x₁＞0，使得g′（x）＜0对x∈（0，x₁）恒成立，
∵g（0）=0，∴g（x）＞0不能对x＞0恒成立，
综上，最大实数A是

α(α-1)

2

；
（3）证明：当α＞1时，令h（x）=f（x）-αx，则h′（x）=α[（1+x）^α-1-1]，
∴x∈（-1，0）时，h′（x）＜0，
即h（x）=f（x）-αx在[-1，0]上单调递减，∴h（0）＜h（x）＜h（-1）对x∈（-1，0）恒成立，
∵h（0）=1，h（-1）=α，
∴1＜h（x）＜α，
即对x∈（-1，0）恒有1＜（1+x）^α-αx＜α，
在此不等式中x=-

1

2

，-

1

3

，…，-

1

n+1

∴1＜(1-

1

2

)α+

α

2

＜α，1＜(1-

1

3

)α+

α

3

＜α，1＜(1-

1

4

)α+

α

4

＜α，1＜(1-

1

5

)α+

α

5

＜α，
…1＜(1-

1

n+1

)α+

α

n+1

＜α，
将以上不等式相加得：n＜

n+1

k=2

(1-

1

k

)α+

α

k

＜nα，
即1＜

1

n

n+1

k=2

((

k-1

k

)α+

α

k

)＜α．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．