Question

8．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知S₃=6，a₄=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3${\;}^{{a}_{n+1}}$-3${\;}^{{a}_{n}}$，求证：$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质和求和公式可得到关于首项和公差的方程组，解得即可，
（2）先判断出{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是等比数列，再根据等比数列的求和公式和放缩法即可证明．

解答 解：（1）设公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=3{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{4}={a}_{1}+3d=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=n．
（2）证明：∵b_n=3${\;}^{{a}_{n+1}}$-3${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2•3ⁿ，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是等比数列．
∵$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{6}$，q=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{6}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查等差数列等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法，和放缩法，考查运算能力，属于中档题．