Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，
（1）求函数f（x）的零点；
（2）g（x）=f（x）-a 若函数g（x）有四个零点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记g（x）得四个零点从左到右分别为x₁，x₂，x₃，x₄，求x₁+x₂+x₃x₄值．

Answer 1

分析 （1）讨论当x＞0时，当x≤0时，由f（x）=0，解方程即可得到零点；
（2）由题意可得f（x）=a有四个不等实根，画出函数y=f（x）的图象，通过图象观察，即可得到a的范围；
（3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和．

解答 解：（1）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，
当x＞0时，由|lnx|=0解得x=1，
当x≤0时，由x²+4x+1=0解得x=-2+$\sqrt{3}$或x=-2-$\sqrt{3}$，
可得函数的零点为1，-2+$\sqrt{3}$或-2-$\sqrt{3}$；
（2）g（x）=f（x）-a 若函数g（x）有四个零点，
即为f（x）=a有四个不等实根，画出函数y=f（x）的图象，
由图象可得当0＜a≤1时，f（x）的图象和直线y=a有四个交点，
故函数g（x）有四个零点时a的取值范围是0＜a≤1；
（3）由y=x²+4x+1的对称轴为x=-2，
可得x₁+x₂=-4，
由|lnx₃|=|lnx₄|=a，
即-lnx₃=lnx₄，即为lnx₃+lnx₄=0
则x₃x₄=1，
故x₁+x₂+x₃x₄=-3．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查对数的运算性质，属于中档题．