Question

12．若（x+y）³（2x-y+a）⁵的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x的次数为1的项的系数为0．

Answer 1

分析 二项式（x+y）³（2x-y+a）⁵中，令x=y=1得展开式各项系数和，求出a的值；
再求（x+y）³（2x-y+1）⁵的展开式中含字母x且x的系数．

解答 解：（x+y）³（2x-y+a）⁵的展开式中各项系数的和为256，
令 x=y=1，得2³×（a+1）⁵=256，
解得a=1，
所以（x+y）³（2x-y+1）⁵的展开式中：
（x+y）³=x³+3x²y+3xy²+y³，
（2x-y+1）⁵=[2x+（1-y）]⁵
=32x⁵+${C}_{5}^{1}$•2⁴•x⁴•（1-y）+…+${C}_{5}^{4}$•2x•（1-y）⁴+（1-y）⁵，
所以（x+y）³（2x-y+1）⁵的展开式中含字母x项为：
3xy•（1-y）⁵+y³•${C}_{5}^{4}$•2x•（1-y）⁴，
令y=1求得含x项的系数为0+0=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了二项式定理与两个计数原理的应用问题，是易错题．