Question

2．在直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 $C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，直线l的极坐标方程为$2ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$．
（1）写出曲线C的参数方程及直线l的普通方程；
（2）设曲线C的左顶点为A，直线l与x轴的交点为B，动点P在曲线C上运动，求|PA|²+|PB|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线 $C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用同角三角函数基本关系式可得参数方程．直线l的极坐标方程为$2ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，展开为：2ρ$（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，利用互化公式可得普通方程．
（2）A（-2，0），B（1，0），设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．可得|PA|²+|PB|²=$6（cosθ+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{19}{3}$，利用二次函数、余弦函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）曲线 $C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）．
直线l的极坐标方程为$2ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，展开为：2ρ$（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，可得普通方程：x+$\sqrt{3}$y-1=0．
（2）A（-2，0），B（1，0），设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
则|PA|²+|PB|²=（2cosθ+2）²+sin²θ+（2cosθ-1）²+sin²θ=6cos²θ+4cosθ+7=$6（cosθ+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{19}{3}$∈$[\frac{19}{3}，17]$．
当cosθ=-$\frac{1}{3}$时，取得最小值$\frac{19}{3}$；当cosθ=1时，取得最大值17．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、二次函数、余弦函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．