Question

11．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在[a，b]⊆D区间，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f（x），x∈D叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）若函数$y=k+\sqrt{x+2}$是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解；
（2）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化：a，b为方程x=k+$\sqrt{x+2}$的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根，由二次方程实根分布求解即可．

解答 解：（1）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=-{a}^{3}}\\{a=-{b}^{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以，所求的区间为[-1，1]；
（2）若函数$y=k+\sqrt{x+2}$是闭函数，且为[-2，+∞）的增函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=k+\sqrt{a+2}}\\{b=k+\sqrt{b+2}}\end{array}\right.$，
可得a，b为方程x=k+$\sqrt{x+2}$的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根，
设f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
当k≤-2时，有$\left\{\begin{array}{l}{△=（2k+1）^{2}-4（{k}^{2}-2）＞0}\\{f（-2）={k}^{2}+4k+4≥0}\\{\frac{2k+1}{2}＞-2}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{k＞-\frac{9}{4}}\\{k∈R}\\{k＞-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2，
当k＞-2时，有$\left\{\begin{array}{l}{△=（2k+1）^{2}-4（{k}^{2}-2）＞0}\\{f（k）=-k-2≥0}\\{\frac{2k+1}{2}＞k}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{k＞-\frac{9}{4}}\\{k≤-2}\\{k∈R}\end{array}\right.$，无解，
综上所述，k的取值范围是（-$\frac{9}{4}$，-2]．

点评 本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，以及问题的等价转化能力，运算能力，属于中档题．