Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA、TB的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C交于P、Q两点，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得直线TA，TB的斜率，由$\frac{y}{x+4}$•$\frac{y}{x-4}$=-$\frac{3}{4}$，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标，求函数的单调性，即可求得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设T（x，y），则直线TA的斜率为k₁=$\frac{y}{x+4}$，直线TB的斜率为k₂=$\frac{y}{x-4}$，．…（2分）
于是由k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，得$\frac{y}{x+4}$•$\frac{y}{x-4}$=-$\frac{3}{4}$，
整理得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；…（4分）
（Ⅱ）当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+2，点P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直线PQ与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+16kx-32=0．
所以，x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=-$\frac{32}{4{k}^{2}+3}$．…（6分）
从而$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=x₁x₂+y₁y₂+[x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）]，
=2（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$\frac{-80{k}^{2}-52}{4{k}^{2}+3}$=-20+$\frac{8}{4{k}^{2}+3}$．…（8分）
-20＜$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$≤-$\frac{52}{3}$，…（10分）
当直线PQ斜率不存在时$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的值为-20，
综上所述$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的取值范围为[-20，-$\frac{52}{3}$]．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标运算，函数单调性及最值与椭圆的综合应用，属于中档题．