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    15．如图已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M，N．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值，并求此时圆T的方程．

    分析 （1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；
    （2）设M（m，n），由对称性可得N（m，-n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程．

    解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆的左顶点T（-2，0），
    可得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
    则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1；
    （2）设M（m，n），由对称性可得N（m，-n），
    即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n2=1，
    则$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（m+2，n）•（m+2，-n）=（m+2）2-n2=（m+2）2-1+$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{5}{4}$m2+4m+3
    =$\frac{5}{4}$（m+$\frac{8}{5}$）2-$\frac{1}{5}$，
    由-2≤m≤2，可得m=-$\frac{8}{5}$时，$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值为-$\frac{1}{5}$，
    此时n2=$\frac{9}{25}$，
    即有r2=（m+2）2+n2=$\frac{13}{25}$，
    可得圆T的方程（x+2）2+y2=$\frac{13}{25}$．

    点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量数量积的最小值，注意运用二次函数的最值求法和椭圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
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    （2）记$\overrightarrow m=（\frac{x_1}{a}，{y_1}），\overrightarrow n=（\frac{x_2}{a}，{y_2}）$，若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$为坐标原点，试探求△OAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

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