Question

3．已知M，F为椭圆的$C：\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{16}=1$的上顶点和右焦点，直线l与椭圆C交与A，B两点，且三角形△MAB的重心恰为F，则直线l的方程为6x-5y-28=0．

Answer 1

分析 设B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），求出椭圆的右焦点为（2，0），利用三角形的重心坐标，推出x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，利用平方差法，求出直线的斜率，求出直线的中点坐标，利用点斜式求解直线方程．

解答 解：设B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），椭圆的$C：\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{16}=1$的右焦点为（2，0）
∵点M（0，4），且椭圆右焦点F₂恰为△ABC的重心
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+0}{3}=2$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+4}{2}=0$
∴x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4     ①
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$
∴两式相减得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{20}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{16}=0$，
将①代入得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，即直线l的斜率为k=$\frac{6}{5}$
∵直线l 过BA中点（3，-2）
∴直线l的方程为y+2=$\frac{6}{5}$（x-3）
故答案为：6x-5y-28=0．

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，点差法的应用，考查转化思想以及计算能力．