Question

18．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；  
（Ⅱ）若b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用S_n与a_n的关系：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1；结合已知条件等式推出数列{a_n}是等差数列，由此求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）求得b_n的表达式，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，有2$\sqrt{{a}_{1}}$=a₁+1，解得a₁=1；
当n≥2时，由2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1得4S_n=a_n²+2a_n+1，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1，
两式相减得4a_n=a_n²-a_n-1²+2（a_n-a_n-1），
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因为数列{a_n}的各项为正，所以a_n-a_n-1-2=0，
所以数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$=2n•2^2n-1=n•4ⁿ．
所以前n项和T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ，
4T_n=1•4²+2•4³+3•4⁴+…+n•4ⁿ⁺¹，
两式相减得-3T_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=$\frac{4}{9}$+$\frac{3n-1}{9}$•4ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1；考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．