Question

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． 3π
• D． 4π

Answer 1

分析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据图中数据求出几何体的表面积与体积，
从而求出其内切球的半径r，再计算内切球的表面积．

解答 解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，
如图所示，
则几何体的表面积为
$S=2×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}+2×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4=12\sqrt{3}$，
该几何体的体积为$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×2\sqrt{3}=4$；
设其内切球半径为r，则
$V=\frac{1}{3}Sr=4\sqrt{3}r=4$，
求得$r=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以内切球的表面积为
${S_球}=4π{r^2}=4π×{（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）^2}=\frac{4π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了体积与表面积的计算问题，是基础题．