Question

17．已知方程${x^2}+3\sqrt{3}x+4=0$有两个实根x₁，x₂，记α=arctanx₁，β=arctanx₂，求α+β的值．

Answer 1

分析 由条件利用韦达定理求得x₁+x₂ =-3$\sqrt{3}$，x₁•x₂=4，α+β∈（0，π），再利用两角和的正切公式求得tan（α+β）的值，可得α+β的值．

解答 解：由x₁、x₂是方程x²+3$\sqrt{3}$x+4=0的两根，可得x₁+x₂ =-3$\sqrt{3}$，x₁•x₂=4，
故x₁、x₂均大于零，故arctanx₁+arctanx₂∈（0，π），即α+β∈（0，π），
∵α=arctanx₁，β=arctanx₂，
∴tanα=x₁，tanβ=x₂，
∴tan（α+β）=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴α+β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，属于中档题．