Question

5．已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，若f（x³-2x+a）＜f（x+1）对x∈[-1，2]恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． （-3，+∞）
• B． （-∞，-3）
• C． （3，+∞）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，当x∈[-1，2]时，x³-2x+a＞（x+1）恒成立，即a＞-x³+3x+1恒成立．利用导数求得g（x）=-x³+3x+1的最大值，可得a的取值范围．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，故f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
若f（x³-2x+a）＜f（x+1）对x∈[-1，2]恒成立，则当x∈[-1，2]时，x³-2x+a＞x+1恒成立，
即a＞-x³+3x+1恒成立．
令g（x）=-x³+3x+1，令g′（x）=-3x²+3=0，x=±1，在[-1，1]上，g′（x）＞0，g（x）是增函数；
在（1，2]上，g′（x）＜0，g（x）是减函数，故g（x）的最大值为g（1）=3，∴a＞3，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立问题，利用导数求函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，属于中档题．