Question

9．正实数x，y满足2x+y=2，则$x+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 由y=2-2x＞0，解得0＜x＜1．则$x+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$=x+$\sqrt{{x}^{2}+（2-2x）^{2}}$=x+$\sqrt{5{x}^{2}-8x+4}$=f（x），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：x＞0，y=2-2x＞0，解得0＜x＜1．
则$x+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$=x+$\sqrt{{x}^{2}+（2-2x）^{2}}$=x+$\sqrt{5{x}^{2}-8x+4}$=f（x），
f′（x）=1+$\frac{5x-4}{\sqrt{5{x}^{2}-8x+4}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{3}{5}$．
则可得x∈$（0，\frac{3}{5}）$时，f′（x）＜0；x∈$（\frac{3}{5}，1）$时，f′（x）＞0．
∴x=$\frac{3}{5}$，y=$\frac{4}{5}$时，函数f（x）取得极小值即最小值$\frac{3}{5}$+$\sqrt{5×（\frac{3}{5}）^{2}-8×\frac{3}{5}+4}$=$\frac{8}{5}$，
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．