Question

19．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2}{x}$（a∈R），讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用单调性与导数值的关系，通过讨论a的值得出函数的单调性；

解答 解：f（x）=alnx+$\frac{2}{x}$，定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$，
若a≤0，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减函数；
若a＞0，当x∈（0，$\frac{2}{a}$）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上单调递减，
当x∈（$\frac{2}{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈（$\frac{2}{a}$，+∞）时，函数是单调递增，

点评 本题考查了函数导数与单调性，考查函数与方程的思想，转化与化归思想以及考生的推理论证能力．