Question

11．设f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，且f（x）=x有唯一解，f（x₁）=$\frac{1}{1003}$，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．
（1）求实数a；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）若a_n=$\frac{4}{{x}_{n}}$-4009，数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，记c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x有唯一解，即为x-ax（x+2）=0有唯一解，运用判别式为0，求得a的值；
（2）求得x₁=$\frac{2}{2005}$，x_n+1=f（x_n）=$\frac{2{x}_{n}}{2+{x}_{n}}$，取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（3）求出a_n=$\frac{4}{{x}_{n}}$-4009=2n+4008-4009=2n-1，由b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+$\frac{1}{3}$+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1，运用等比数列的求和公式，求得c_n=a_nb_n=（2n-1）（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$）=3n-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，运用数列的求和方法：分组求和与错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）f（x）=x即为f（x）-x=0，$\frac{x}{a（x+2）}$-x=0，
即有$\frac{x-ax（x+2）}{a（x+2）}$=0，即x-ax（x+2）=0，
f（x）=x有唯一解，即为x-ax（x+2）=0有唯一解，
即ax²+（2a-1）x=0有唯一解．
又∵a≠0．∴△=（2a-1）²=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x₁）=$\frac{2{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$=$\frac{1}{1003}$，解得x₁=$\frac{2}{2005}$，
x_n+1=f（x_n）=$\frac{2{x}_{n}}{2+{x}_{n}}$，取倒数可得$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{{x}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
可得{$\frac{1}{{x}_{n}}$}成等差数列，且$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{2005}{2}$，
则$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{2005}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+2004}{2}$，即有x_n=$\frac{2}{n+2004}$；
（3）a_n=$\frac{4}{{x}_{n}}$-4009=2n+4008-4009=2n-1，
数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
可得b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+$\frac{1}{3}$+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$，
c_n=a_nb_n=（2n-1）（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$）=3n-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
前n项和T_n=3（1+2+…+n）-$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$[1•（$\frac{1}{3}$）⁰+3•（$\frac{1}{3}$）+5•（$\frac{1}{3}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1]，
令P_n=1•（$\frac{1}{3}$）⁰+3•（$\frac{1}{3}$）+5•（$\frac{1}{3}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，①
$\frac{1}{3}$P_n=1•（$\frac{1}{3}$）+3•（$\frac{1}{3}$）²+5•（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，②
①-②可得$\frac{2}{3}$P_n=1+2[（$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$）²+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1]-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ
=1+2[$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$]-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
化简可得P_n=$\frac{3}{2}$[2-（2n+2）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ]，
∴T_n=3•$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$[2-（2n+2）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ]
=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-$\frac{3}{2}$n-$\frac{3}{2}$+$\frac{n+1}{2•{3}^{n-1}}$
=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{3}{2}$+$\frac{n+1}{2•{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查函数与数理的综合应用，考查数列的通项公式和数列恒等式的运用，以及等比数列的求和公式，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，综合性强，属于中档题．