Question

3．已知等比数列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，a₂，a₃，a₄又分别是某个等差数列的第7项，第3项，第1项．
（1）求a_n；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，可得公比的方程，求得q，进而得到a_n；
（2）求得b_n=log₂2^7-n=7-n，设数列{b_n}的前n项和S_n，运用等差数列的求和公式可得S_n，讨论当1≤n≤7时，前n项和T_n=S_n；当n≥8时，a_n＜0，则前n项和T_n=-（S_n-S₇）+S₇=2S₇-S_n，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）等比数列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，
a₂，a₃，a₄又分别是某个等差数列的第7项，第3项，第1项，
可得a₂-a₃=4d，a₃-a₄=2d，（d为某个等差数列的公差），
即有a₂-a₃=2（a₃-a₄），
即a₂-3a₃+2a₄=0，
即为a₁q-3a₁q²+2a₁q³=0，
即有1-3q+2q²=0，
解得q=$\frac{1}{2}$（1舍去），
则a_n=a₁q^n-1=64•（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^7-n；
（2）b_n=log₂a_n=log₂2^7-n=7-n，
设数列{b_n}的前n项和S_n，
S_n=$\frac{1}{2}$（6+7-n）n=$\frac{1}{2}$n（13-n），
当1≤n≤7时，前n项和T_n=S_n=$\frac{1}{2}$n（13-n）；
当n≥8时，a_n＜0，则前n项和T_n=-（S_n-S₇）+S₇=2S₇-S_n=2×$\frac{1}{2}$×7×6-$\frac{1}{2}$n（13-n）
=$\frac{1}{2}$（n²-13n+84），
则前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（13n-{n}^{2}），1≤n≤7}\\{\frac{1}{2}（{n}^{2}-13n+84），n≥8}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意数列中的项的符号，考查运算能力，属于中档题．