Question

2．已知数列{a_n}为等比数列，S_n是它的前n项和，设T_n=S₁+S₂+…+S_n，若a₂•a₃=2a₁，且a₄与2a₇的等差中项为$\frac{5}{4}$，则T₄=98．

Answer 1

分析 根据题意，设数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，结合题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}=2{a}_{1}}\\{{a}_{1}{q}^{3}+2{a}_{1}{q}^{6}=2×\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解可得首项与公比的值，进而可得S_n=$\frac{16（1-{\frac{1}{2}}^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$；又由T₄=S₁+S₂+S₃+S₄，计算可得答案．

解答 解：根据题意，设数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
若a₂•a₃=2a₁，且a₄与2a₇的等差中项为$\frac{5}{4}$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}=2{a}_{1}}\\{{a}_{1}{q}^{3}+2{a}_{1}{q}^{6}=2×\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解可得a₁=16，q=$\frac{1}{2}$；
则T₁=S₁=a₁=16，
则S_n=$\frac{16（1-{\frac{1}{2}}^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$；
则T₄=S₁+S₂+S₃+S₄=16+$\frac{16（1-{\frac{1}{2}}^{2}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{16（1-{\frac{1}{2}}^{3}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{16（1-{\frac{1}{2}}^{4}）}{1-\frac{1}{2}}$=98；
故答案为：98．

点评 本题考查等比数列的前n项和，关键是求出等比数列的首项与公比．