Question

19．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-2x，0≤x＜1}\\{{-2}^{1-|x-\frac{3}{2}|，1≤x＜2}}\end{array}\right.$，函数g（x）=x³+3x²+m．若对任意s∈[-4，-2），存在t∈[-4，-2），不等式f（s）-g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-12]
• B． （-∞，14]
• C． （-∞，-8]
• D． （-∞，$\frac{31}{2}$]

Answer 1

分析 对任意s∈[-4，-2），存在t∈[-4，-2），不等式f（s）-g（t）≥0成立，等价于：f（s）_min≥g（t）_min．利用分段函数的性质可得f（s）_min，利用导数研究函数的单调性极值与最值可得g（t）_min．

解答 解：对任意s∈[-4，-2），存在t∈[-4，-2），不等式f（s）-g（t）≥0成立，
等价于：f（s）_min≥g（t）_min．
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
当x∈[0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-2x，0≤x＜1}\\{{-2}^{1-|x-\frac{3}{2}|，1≤x＜2}}\end{array}\right.$，
∴x∈[0，2]，f（0）=$\frac{1}{2}$为最大值，
∵f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈[-2，0]，
∴f（-2）=2f（0）=2×$\frac{1}{2}$=1，
∵x∈[-4，-2]，
∴f（-4）=2f（-2）=2×1=2，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_大=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈[-2，0]，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=2f（ $\frac{3}{2}$）=2×（-2）=-4，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=2f（-$\frac{1}{2}$）=-8，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_小=-8，
∵函数g（x）=x³+3x²+m，
∴g′（x）=3x²+6x，
3x²+6x＞0，x＞0，x＜-2，
3x²+6x＜0，-2＜x＜0，
3x²+6x=0，x=0，x=-2，
∴函数g（x）=x³+3x²+m，在（-∞，-2）（0，+∞）单调递增．
在（-2，0）单调递减，
∴?t∈[-4，-2），g（t）_大=g（-2）=4+m，
g（t）_小=g（-4）=m-16，
∵不等式f（s）-g（t）≥0，
∴-8≥m-16，
故实数满足：m≤8，
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．