Question

10．某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35）．第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．
下面是年龄的分布表

区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50）
人数	28	a	b

（1）求正整数a、b、N的值；
（2）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第1、2、3组的员工人数分别是多少？
（3）为了估计该单位员工的阅读习惯，对第1、2、3组中抽出的42人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果如表所示：（单位：人）

	喜欢阅读国学类	不喜欢阅读国学类	合计
男	16	4	20
女	8	14	22
合计	24	18	42

根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为该单位员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”？
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）利用频率与频数的关系求出样本容量N、计算出a、b的值；
（2）求出年龄低于40岁的员工数，利用分层抽样原理求出每组抽取的人数；
（3）根据表中数据计算K²的观测值，查表得出概率结论．

解答 解：（1）总人数：N=$\frac{28}{5×0.02}$280，a=28；
第3组的频率是：1-5×（0.02+0.02+0.06+0.02）=0.4
所以b=280×0.4=112； …（3分）
（2）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有28+28+112=168（人），
利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：
第1组抽取的人数为28×$\frac{42}{168}$=7（人），第2组抽取的人数为28×$\frac{42}{168}$=7（人），
第3组抽取的人数为112×$\frac{42}{168}$=28（人），
所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人．…（6分）
（3）假设H₀：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，
求得K²的观测值k=$\frac{42{×（16×14-4×8）}^{2}}{24×18×20×22}$≈8.145＞7.879，…（10分）
查表得P（K²≥7.879）=0.005，从而能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，
认为该单位的员工“是否喜欢看国学类书籍和性别有关系”．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题目．