Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{\frac{2-x}{3+x}}+ln（{{3^x}-\frac{1}{3}}）$的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M时，求$g（x）={4^{x+\frac{1}{2}}}-{2^{x+2}}$+1的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）有意义，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{2-x}{3+x}≥0\\{3^x}-\frac{1}{3}＞0\end{array}\right.$，解出x的范围可得定义域M．
（2）讲g（x）化简，转化为二次函数的问题，利用x∈M时，考查单调性可得值域．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{2-x}{3+x}≥0\\{3^x}-\frac{1}{3}＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-3＜x≤2\\ x＞-1\end{array}\right.$，
∴-1＜x≤2，
所以M=（-1，2]．
（2）由$g（x）={4^{x+\frac{1}{2}}}-{2^{x+2}}+1=2•{2^{2x}}+4•{2^x}+1=2{（{{2^x}-1}）^2}-1$，
∵x∈M，即-1＜x≤2，
∴$\frac{1}{2}＜{2^x}＜4$，
∴当2^x=1，即x=0时，g（x）_min=-1，
当2^x=4，即x=2时，g（x）_max=17，
故得g（x）的值域为[-1，17]．

点评 本题考查定义域的求法和指数函数的化简能力，转化思想，利用二次函数和指数的性质的单调性求解值域，属于函数函数性质应用题．