Question

4．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a_n+1）²（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）${b_n}=（2n-1）•{2^n}$，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，$4{a_1}={（{a_1}+1）^2}$，∴a₁=1…（1分）
当n≥2时，$4{S_{n-1}}={（{a_{n-1}}+1）^2}$，又$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，两式相减得：$4{a_n}=a_n^2+2{a_n}-a_{n-1}^2-2{a_{n-1}}$，…（2分）
即 （a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，…（5分）
所以，数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，即a_n=2n-1．…（6分）
（2）∵${b_n}=（2n-1）•{2^n}$，
∴${T_n}=1×{2^1}+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-1）×{2^n}$①
$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+5×{2^4}+…+（2n-3）×{2^n}+（2n-1）×{2^{n+1}}$②…（8分）
①-②得-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=$2+\frac{{8-{2^{n+2}}}}{1-2}-（2n-1）×{2^{n+1}}$=2-8+2ⁿ⁺²-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6+2ⁿ⁺¹（2-2n+1）=-6+2ⁿ⁺¹（3-2n）…（11分）
∴${T_n}=6+{2^{n+1}}（2n-3）$．…（12分）

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．