Question

16．已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx-cosx取得最大值，则sin（2θ+$\frac{π}{4}$）=（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{10}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{10}$
• D． -$\frac{7\sqrt{2}}{10}$

Answer 1

分析 用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=$\sqrt{5}$sin（x+α），（其中$sinα=\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$）由题意可得θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ$+\frac{π}{2}$-α，k∈z，再利用诱导公式求得sinθ，cosθ 的值，利用和与差的公式化简sin（2θ+$\frac{π}{4}$）可得答案．

解答 解：函数f（x）=2sinx-cosx=f（x）=$\sqrt{5}$sin（x+α）取得最大值，此时x=θ，（其中$sinα=\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$）
∴θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即θ=2kπ$+\frac{π}{2}$-α，k∈z，
那么：sinθ=sin（2kπ$+\frac{π}{2}$-α）=cosα=$-\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosθ=cos（2kπ$+\frac{π}{2}$-α）=sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
∴sin2θ=$-\frac{4}{5}$，cos2θ=1-2sin²θ=-$\frac{3}{5}$
由sin（2θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$-\frac{7}{5}$）=$-\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
故选：D

点评 本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，二倍角，和与差的公式的运用，属于中档题