Question

1．已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx-cosx取得最大值，则sin2θ=（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． -$\frac{3}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=$\sqrt{5}$sin（x+α）（其中，cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=$-\frac{1}{\sqrt{5}}$），由题意可得θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈z，再利用诱导公式求得sinθ和cosθ 的值，可得sin2θ．

解答 解：函数f（x）=2sinx-cosx=$\sqrt{5}$sin（x+α）取得最大值时，此时x=θ，其中，cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=$-\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，
那么：sinθ=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-α）=cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
cosθ=cos（2kπ+$\frac{π}{2}$-α）=sinα=$-\frac{1}{\sqrt{5}}$
∴sin2θ=2sinθcosθ=$-\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{2}{\sqrt{5}}×2=-\frac{4}{5}$．
故选：D

点评 本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题