Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求点A到平面BED的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以BC为x轴，BA为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，设E（x，y，z），通过$\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EA}$，得E（0，2，1），求出平面BDE的法向量，通过$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=6+0-6=0$，证明PC∥平面EBD．
（Ⅱ）利用平面BED的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{BA}=（0，3，0）$，求解点A到平面BED的距离．

解答 （Ⅰ）证明：如图，根据题意，以BC为x轴，BA为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系．
CD⊥⊥PD，CD⊥⊥PB，PD∩∩PB=P，
∴CD⊥平面PDB，∴CD⊥DB．
∵AD=AB=3，∠DAB=$\frac{π}{2}$，
∴DB=3$\sqrt{2}$，$∠DBA=\frac{π}{4}$，
∴DC=3$\sqrt{2}$，BC=6，
∴B（0，0，0），A（0，3，0），C（6，0，0），P（0，0，3），
D（3，3，0）．
设E（x，y，z），∵$\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EA}$，
∴（x，y，z-3）=2（-x，3-y，-z），得E（0，2，1），$\overrightarrow{BE}=（0，2，1）$，$\overrightarrow{BD}=（3，3，0）$．
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{3a+3b=0}\\{2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
$\overrightarrow{PC}$=（6，0，-3），$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=6+0-6=0$，
∴PC∥平面EBD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面BED的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），且$\overrightarrow{BA}=（0，3，0）$，
∴点A到平面BED的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理，点到平面的距离公式的应用，考查空间想象能力以及计算能力．