Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}-2，x≥1}\\{{2}^{1-x}-2，x＜1}\end{array}\right.$，则不等式f（x-1）≤0的解集为（　　）

• A． {x|0≤x≤2}
• B． {x|0≤x≤3}
• C． {x|1≤x≤2}
• D． {x|1≤x≤3}

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}-2，x≥1}\\{{2}^{1-x}-2，x＜1}\end{array}\right.$是一个分段函数，故可以将不等式f（x-1）≤0分类讨论，分x-1≥1和x-1＜1两种情况，分别进行讨论，综合讨论结果，即可得到答案．

解答 解：当x-1≥1，即x≥2时，f（x-1）≤0?2^x-2-2≤0，解得x≤3，∴2≤x≤3；
当x-1＜1，即x＜2时，f（x-1）≤0?2^2-x-2≤0，解得x≥1，∴1≤x＜2．
综上，不等式f（x-1）≤0的解集为{x|1≤x≤3}．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的解析式，及不等式的解法，其中根据分段函数分段处理的原则，对不等式f（x+2）≤3的变形进行分类讨论，是解答本题的关键．