Question

11．已知常数ω＞0，f（x）=-1+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos²ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为$\frac{π}{4}$，若f（x₀）=$\frac{6}{5}$，$\frac{π}{4}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，则cos2x₀=（　　）

• A． $\frac{3+2\sqrt{3}}{10}$
• B． $\frac{3-2\sqrt{2}}{10}$
• C． $\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 将函数f（x）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最小值为$\frac{π}{4}$，可得T=π．根据f（x₀）=$\frac{6}{5}$，$\frac{π}{4}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，求出x₀，可得cos2x₀的值．

解答 解：由f（x）=-1+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos²ωx，
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为$\frac{π}{4}$，
∴T=π．
由$T=\frac{2π}{2ω}=π$，
可得：ω=1．
f（x₀）=$\frac{6}{5}$，即2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$
∵$\frac{π}{4}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{3}$≤2x₀+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$
∴sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$＞0
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$．
那么：cos2x₀=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$
故选D

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．