Question

3．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为$\frac{π}{4}$，对于任意t∈[1，2]函数g（x）=x³+x²[f′（x）+$\frac{m}{2}$]在区间（t，3）上总不是单调函数，则实数 m 的取值范围是（　　）

• A． ?（-∞，-5）?
• B． ?（-$\frac{37}{3}$，-5）?
• C． （-9，+∞）??
• D． （-$\frac{37}{3}$，-9）?

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用切线的斜率求出a，利用函数的单调性，任意t∈[1，2]函数g（x）=x³+x²[f′（x）+$\frac{m}{2}$]在区间（t，3）上总不是单调函数，转化为函数由极值，然后求解函数的值域即可得到结果．

解答 解：由函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．可得f′（x）=$\frac{a}{x}$-a，
$f'（2）=-\frac{a}{2}=1$得a=-2，对于任意t∈[1，2]函数$g（x）={x^3}+{x^2}[{f'（x）+\frac{m}{2}}]$=x³+x²（-$\frac{2}{x}$+2+$\frac{m}{2}$）
在区间（t，3）上总不是单调函数，只需$g（x）={x^3}+（\frac{m}{2}+2）{x^2}-x$²在（2，3）上不是单调函数，
故g'（x）=3x²+（m+4）x-2在（2，3）上有零点，即方程$m=-3x-4+\frac{2}{x}$在（2，3）上有解，
而$y=-3x-4+\frac{2}{x}$在（2，3）上单调递减，故其值域为$（{-\frac{37}{3}，-9}）$．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．