Question

15．已知在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，D是BC边上靠近点B的四等分点，F是AC边的中点，若点G是△ABC的重心，则$\overrightarrow{GD}$•$\overrightarrow{AF}$=-$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{GD}，\overrightarrow{AF}$，再计算$\overrightarrow{GD}$•$\overrightarrow{AF}$即可．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=6×6×cos120°=-18，${\overrightarrow{AC}}^{2}$=36．
取BC的中点E，连接AE，BF，则AE∩BF=G，
∵G是△ABC的重心，∴$\overrightarrow{GE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
∵D是BC边上靠近点B的四等分点，∴$\overrightarrow{ED}=\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{GD}$=$\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{ED}$=$\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{GD}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$）•$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\frac{5}{24}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{24}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=-$\frac{21}{4}$．
故答案为-$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，数量积运算，属于中档题．