Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m∈(0，2))的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.

(1) 求椭圆C的标准方程．

(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)＋y2＝1；(2)是，定点

【解析】

（1）由已知列出方程组解得，然后求得，得椭圆标准方程；

(2)首先确定直线AB斜率存在且不为0，然后设直线方程为y＝k(x－m)，求出P，Q点，写出圆的方程(直径式)，然后，即令斜率k的系数为零，常数项也为零，得出关于x，y的方程可得定点．审题注意题中m是常数，而非变量．

(1)由题意，得，解得所以a2＝2，b2＝1，

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2) 由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意，所以可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－m)．

又准线方程为x＝2，

所以点P的坐标为P(2，k(2－m))．

由得，x2＋2k2(x－m)2＝2，即(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，

所以xA＋xB＝，则xD＝·＝，yD＝k＝－，

所以kOD＝－，

从而直线OD的方程为y＝－x(也可用点差法求解)，

所以点Q的坐标为Q.

所以以P，Q为直径的圆的方程为(x－2)2＋（y-k(2－m)）＝0，

即x2－4x＋2＋m＋y2-[ k(2－m)-]y＝0.

因为该式对k≠0恒成立，令y＝0，得x＝2±，

所以，以PQ为直径的圆经过定点.