Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，$\frac{{2{S_n}}}{n}={a_{n+1}}-\frac{1}{3}{n^2}-n-\frac{2}{3}$，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）在数列{b_n}中，${b_n}=\frac{4n+2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{2{S_n}}}{n}={a_{n+1}}-\frac{1}{3}{n^2}-n-\frac{2}{3}$，n∈N^*．
∴当n=1时，$2{a_1}=2{S_1}={a_2}-\frac{1}{3}-1-\frac{2}{3}={a_2}-2$，
又a₁=1，∴a₂=4．
（2）∵$\frac{{2{S_n}}}{n}={a_{n+1}}-\frac{1}{3}{n^2}-n-\frac{2}{3}$，n∈N^*．
∴$2{S_n}=n{a_{n+1}}-\frac{1}{3}{n^3}-{n^2}-\frac{2}{3}n=n{a_{n+1}}-\frac{{n（{n+1}）（{n+2}）}}{3}$①，
∴当n≥2时，$2{S_{n-1}}=（{n-1}）{a_n}-\frac{{（{n-1}）n（{n+1}）}}{3}$②
由①-②，得 2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∵2a_n=2S_n-2S_n-1，∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$（n≥2），
又$\frac{a_2}{2}-\frac{a_1}{1}=1$，∴数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是以首项为$\frac{a_1}{1}=1$，公差为1的等差数列．
∴$\frac{a_n}{n}=1+1×（{n-1}）=n$，∴${a_n}={n^2}（{n∈{N^*}}）$．
（3）证明：由（2）知，${a_n}={n^2}，n∈{N^*}$，
则${b_n}=\frac{4n+2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{4n+2}{{{n^2}•{{（n+1）}^2}}}=2（\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}）$；
∴${T_n}=2（\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}）=2（1-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}）$

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．