Question

13．如图，已知二面角α-BC-β的大小为θ（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）．在面α内有△ABC，它在面β内的射影为△A′BC．它们的面积分别为S，S′，求证：cosθ=$\frac{S′}{S}$．

Answer 1

分析 根据二面角的定义结合三角形的面积公式进行证明即可．

解答 解：∵△ABC在面β内的射影为△A′BC．
∴AA′⊥β，
过A作AD⊥BC，连接A′D，
∵AA′⊥BC，A′A∩AD=A，
∴BC⊥平面AA′DM
则A′D⊥BC，
即∠ADA′是面角α-BC-β的平面角，即∠ADA′=θ，
则S=$\frac{1}{2}$BC•AA′，S′=$\frac{1}{2}$BC•A′D，
则$\frac{S′}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}BC•A′D}{\frac{1}{2}BC•A′D}$=$\frac{A′D}{AD}$，
在直角三角形AA′D中，cosθ=$\frac{A′D}{AD}$，
∴cosθ=$\frac{S′}{S}$

点评 本题主要考查二面角的应用，根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合直角三角形的边角关系是解决本题的关键．