Question

3．已知函数f（x）=log_a（-x-1）+log_a（x+3），其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）根据对数的运算性质，以及符合函数的值域的求法，即可得到答案，需要分类讨论．

解答 解：（1）要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{-x-1＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$．
解得：-3＜x＜-1．
即f（x）的为定义域（-3，-1），
（2）f（x）=log_a（-x-1）+log_a（x+3）=log_a[-（x+1）（x+3）]，
令t=-（x+1）（x+3），
∵-3＜x＜-1，
∴0＜t≤1，
当0＜a＜1时，值域为[0，+∞），
当a＞1时，值域为（-∞，0]．

点评 本题主要考查对数函数性质的综合考查，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．