Question

15．已知M={（x，y）|x²+2y²=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{-\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）$
• C． $[{-\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$
• D． $[{-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$

Answer 1

分析 由M∩N≠∅，可得y=mx+b与x²+2y²=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b的取值范围．

解答 解：由题意，∵M∩N≠∅，
∴y=mx+b与x²+2y²=3有交点
直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m²）x²+4mbx+2b²-3=0
∴△=16m²b²-4（1+2m²）（2b²-3）≥0
∴2b²≤3+6m²
∵对所有m∈R，均有M∩N≠∅，
∴2b²≤3
∴-$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤b≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$
故选：C．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．