Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{2}$，且a_n+1=3a_n-1，b_n=a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列．
（2）若不等式$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}-1}$≤m对?n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a_n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n-$\frac{1}{2}$），即为b_n+1=3b_n，由等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式，可得b_n=3^n-1，由题意可得m≥$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$的最大值，求得f（n）=$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$，为递减数列，可得最大值，进而得到m的范围．

解答 解：（1）证明：a_n+1=3a_n-1，
可得a_n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n-$\frac{1}{2}$），
即为b_n+1=3b_n，
则数列{b_n}是首项为a₁-$\frac{1}{2}$=1，3为公比的等比数列；
（2）由（1）可得b_n=3^n-1，
不等式$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}-1}$≤m对?n∈N^*恒成立，即有
m≥$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$的最大值，
由f（n）=$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$，
由3ⁿ递增，可得f（n）递减，
即有f（1）取得最大值1，
则m≥1，即有m的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用构造法，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性，考查运算能力，属于中档题．