Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点M（0，2）关于直线y=-x的对称点在椭圆C上，且△MF₁F₂为正三角形，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出M点关于直线y=-x的对称点，则a可求，再由△MF₁F₂为正三角形列式求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：如图，
点M（0，2）关于直线y=-x的对称点为（-2，0），
∵（-2，0）在椭圆上，∴a=2，
又△MF₁F₂为正三角形，
∴tan30°=$\frac{c}{2}$，得c=2tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则b²=a²-c²=4-$\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，是中档题．