Question

3．已知函数f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+a}$（a＞0）在x=-1处的切线垂直于y轴．
（1）求实数a的值；
（2）求过点M（1，f（1））且与曲线y=f（x）相切的切点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用f′（-1）=0，解方程即可．
（2）设出切点坐标，求出切线方程，进行求解即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+a}$，
∴f′（x）=$\frac{2（{x}^{2}+a）-2x•2x}{（{x}^{2}+a）^{2}}$=$\frac{-2{x}^{2}+2a}{（{x}^{2}+a）^{2}}$，
∵数f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+a}$（a＞0）在x=-1处的切线垂直于y轴，
∴f′（-1）=0，
即f′（-1）=$\frac{-2+2a}{（1+a）^{2}}$=0，即2a-2=0，得a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+2}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∵f（1）=1，∴M（1，1），
设切点P（m，$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$），则切线斜率k=f′（m）=$\frac{2-2{m}^{2}}{（{m}^{2}+1）^{2}}$，
则切线方程为y-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2-2{m}^{2}}{（{m}^{2}+1）^{2}}$（x-m），
∵切线过M（1，1），
∴1-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2-2{m}^{2}}{（{m}^{2}+1）^{2}}$•（1-m），
即$\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2（1-m）^{2}（1+m）}{（{m}^{2}+1）^{2}}$，
即（m²+1）（m-1）²=2（1+m）（m-1）²，
若m=1，满足条件，
当m≠1时，方程等价为m²+1=2（1+m），即m²-2m-1=0，
得m=1±$\sqrt{2}$，
当m=1时，P（1，1），
当m=1+$\sqrt{2}$，P（1+$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
当m=1-$\sqrt{2}$，P（1-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，求出函数的切线方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力．