Question

已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x），
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及单调递增区间；
（Ⅱ）记函数g（x）=10^f（x）+3x，求函数g（x）的值域；
（Ⅲ）若关于x的方程|g（x）|=m恰有两个实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据对数的定义，列出不等式组，解得即可．根据复合函数的单调性，求得即可，
（Ⅱ）先求出g（x），再求g（x）的最值，问题得以解决．
（Ⅲ）求出|g（x）|的值域，再结合图象得到答案，

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lg（2+x）+lg（2-x），
∴

2+x＞0 2-x＞0

，
解得-2＜x＜2，
即函数f（x）的定义域为（-2，2），
∵f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²），
设u（x）=-x²+4，
∴u（x）在（-2，0）上单调递增，
∴f（x）在（-2，0）上单调递增，
（Ⅱ）∵g（x）=10^f（x）+3x，（-2＜x＜2）
∴g（x）=4-x²+3x=-（x-

3

2

）+

25

4

，
当x=

3

2

∈（-2，2），g（x）_max=

25

4

，
∵g（-2）=-6，g（2）=6，
∴函数g（x）的值域为（-6，

25

4

）
（Ⅲ）∵x的方程|g（x）|=m恰有两个实数解，
如图所示，由（Ⅱ）可知函数|g（x）|的值域为[0，

25

4

]，
∴m∈（0，

25

4

）且m=6，
故实数m的取值范围（0，6）∪（6，

25

4

）．

点评：本题考查对数函数的性质，函数定义域值域的求法，以及参数的取值范围，属于中档题．