Question

15．如图，椭圆x²+$\frac{y^2}{4}$=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距
为2$\sqrt{5}$，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标y_M的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求由题意，a=1，c=$\sqrt{5}$，b=2，即可双曲线Γ的方程；
（2）y_M=$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$=$\frac{4}{k+\frac{4}{k}}$在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标y_M的取值范围；
（3）求出k_OM+k_BP=0，可得直线BP与OM关于直线x=$\frac{1}{2}$对称

解答 解：（1）由题意，a=1，c=$\sqrt{5}$，b=2，
∴双曲线Γ的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由题意，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0
∴x=-1或x₂=$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
∴Q（$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$），M（-$\frac{{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$）
∴y_M=$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$=$\frac{4}{k+\frac{4}{k}}$在（0，2）上单调递增，∴y_M∈（0，1）
（3）由题意，k_AP•k_BP=$\frac{{y}_{1}}{1+{x}_{1}}•\frac{{y}_{1}}{1-{x}_{1}}$=4，
同理k_AP•k_OM=-4，
∴k_OM+k_BP=0，
设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=-k′（x-1），解得x=$\frac{1}{2}$，
∵k_OM+k_BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=$\frac{1}{2}$对称．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．