Question

7．设数列{a_n}的前n项和为${S_n}（n∈{N^*}）$，若a₁=1，a_n+1=2S_n+1，则S₄=40．

Answer 1

分析 由题意可知：（S_n+1-S_n）=2S_n+1，S_n+1=3S_n+1，即S_n+1+$\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），$\{{S_n}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$为首项，3为公比的等比数列，由等比数列的通项公式即可求得S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，当n=4，代入即可求得S₄的值．

解答 解：由题意得，由a_n+1=2S_n+1，则（S_n+1-S_n）=2S_n+1，整理得：S_n+1=3S_n+1，
∴S_n+1+$\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），
∴$\{{S_n}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$为首项，3为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可知：S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，
S₄=$\frac{3}{2}$•3³-$\frac{1}{2}$=40，
故答案为：40．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查利用构造等比数列求数列的通项公式的方法，考查计算能力，属于基础题．