Question

18．数列{b_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$；
（1）试证明数列{b_n}是等差数列，并求其通项公式；
（2）如果等比数列{a_n}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{a_n}的每相邻两项a_i与a_i+1之间插入i个（-1）ⁱb_i（i∈N^*）后，得到一个新数列{c_n}，求数列{c_n}中所有项的和；
（3）如果存在n∈N^*，使不等式$（n+1）（{b_n}+\frac{8}{b_n}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）n=1时，b₁=1；n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n，即可证明．
（2）通过题意，易得数列{a_n}的通项公式为an=2n，
当m=2k-1（k≥2，k∈N^*）时，数列{c_n}共有（2k-1）+1+2+…+（2k-2）=k（2k-1）项，
其所有项的和为Sk（2k-1）=（2+22+…+22k-1）+[-1+22-32+42-…-（2k-3）2+（2k-2）2]=$\frac{1}{2}$m（m-1）+2^m+1-2．取m=2017时，可得数列{c_n}中所有项的和．
（3）不等式$（n+1）（{b_n}+\frac{8}{b_n}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$，即不等式（n+1）$（n+\frac{8}{n}）$≤（n+1）λ≤$n+1+\frac{20}{n+1}$，化为：f（n）=$n+\frac{8}{n}$≤λ≤1+$\frac{20}{（n+1）^{2}}$=g（n）．通过验证：n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．即可得出结论．

解答 （1）证明：n=1时，b₁=1；n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．n=1时也成立．
∴b_n=n为等差数列，首项与公差都为1．
（2）解：通过题意，易得数列{a_n}的通项公式为a_n=2n，
当m=2k-1（k≥2，k∈N^*）时，
数列{c_n}共有（2k-1）+1+2+…+（2k-2）=k（2k-1）项，
其所有项的和为Sk（2k-1）=（2+22+…+22k-1）+[-1+22-32+42-…-（2k-3）2+（2k-2）2]
=2（2^2k-1-1）+[3+7+…+（4k-5）]
=2^2k-2+（2k-1）（k-1）
=$\frac{1}{2}$m（m-1）+2^m+1-2．
∴m=2017时，数列{c_n}中所有项的和=2²⁰¹⁸+2033134．
（3）不等式$（n+1）（{b_n}+\frac{8}{b_n}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$，
即不等式（n+1）$（n+\frac{8}{n}）$≤（n+1）λ≤$n+1+\frac{20}{n+1}$，
化为：f（n）=$n+\frac{8}{n}$≤λ≤1+$\frac{20}{（n+1）^{2}}$=g（n）．
∵f（n）≥f（3）=3+$\frac{8}{3}$，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3时不等式不成立．
n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N^*，
使不等式$（n+1）（{b_n}+\frac{8}{b_n}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、作差法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．