Question

5．已知点A（1，0），B（4，0），圆C：（x-a）²+（y-a）²=1，若圆C上存在点M，使|MB|=2|MA|，则实数a的取值范围为-$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由圆C上存在点M，使|MB|=2|MA|，得到点M在以D（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，圆C与圆D有公共点，满足2-1≤CD≤2+1，即可求出a的取值范围．

解答 解：由C：（x-a）²+（y-a）²=1，得圆心C（a，a），
设M（x，y），
∵|MB|=2|MA|，
∴（x-4）²+y²=4（x-1）²+4y²，
得x²+y²=4．
∴点M在以D（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，
则圆C与圆D有公共点，满足2-1≤CD≤2+1，
即1≤a²+a²≤3，
解得-$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为-$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查圆的标准方程，考查了两圆间位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，考查不等式组的解法，是中档题．