已知数列{an}.其中cn=2n+3n.试探求数列{cn+1-pcn}成等比数列的充要条件.并证明你的结论．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．已知数列{a_n}，其中c_n=2ⁿ+3ⁿ，试探求数列{c_n+1-pc_n}成等比数列的充要条件，并证明你的结论．

分析如果数列{c_n+1-pc_n}为等比数列，则必有c₂-pc₁，c₃-pc₂，c₄-pc₃成等比数列．由此，可以求出p的值，然后证明所求p值符合题意．

解答解：因为{c_n+1-pc_n}是等比数列，
故有c₂-pc₁，c₃-pc₂，c₄-pc₃成等比数列，
所以（c₃-pc₂）²=（c₂-pc₁）（c₄-pc₃），
即（35-13p）²=（13-5p）（97-35p）．
解得p=2或p=3．
证明如下：
当p=2时，c_n+1-pc_n=（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）-2（2ⁿ+3ⁿ）=3ⁿ，数列{c_n+1-pc_n}成等比数列；
当p=3时，c_n+1-pc_n=（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）-3（2ⁿ+3ⁿ）=-2ⁿ，数列{c_n+1-pc_n}成等比数列．
∴数列{c_n+1-pc_n}成等比数列的充要条件为p=2或p=3．

点评本题考查数列{c_n+1-pc_n}成等比数列的充要条件的探求和证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

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